Problemario

Funciones de Varias Variables

Las funciones de 2 o más variables independientes se presentan mas a menudo en la ciencia que las funciones de una sola variable, a estas funciones se les denomina “Funciones Vectoriales” de varias variables reales independientes. Sus derivadas son más variadas e interesantes debido a las diferentes maneras en que las variables pueden interactuar.

Sus integrales conducen a una mayor diversidad de aplicaciones como por ejemplo el estudio de la probabilidad, estadística, dinámica de fluidos y electricidad son alguno de ellos.

Las funciones de valores reales de varias variables reales independientes se definen en forma parecida a como se definen las funciones de una sola variable. Los dominios son conjunto de pares (o triadas, cuádruplos, etc.) ordenados de números reales , y los rangos son conjuntos de números reales.

Supongamos que D es un conjunto de números reales (X₁, X₂, X₃,…,X_n). una función de valores reales f sobre D es una regla que asigna un número real de la forma

El conjunto D es el dominio de la función. El conjunto de valores W tomadas por “f” es el rango de la función. El símbolo W es la variable dependiente de f y se dice que f es una función de las n variables independientes X₁ a X_n. Llamadas también a las X las variables de entrada de la función y a W la variable de salida de la función.

Como es usual evaluamos las funciones definidas por formulas, sustituyendo los valores de las variables independientes en la formula y calculamos el valor correspondiente  de la variable dependiente.

Limites y Continuidad

Muchas de las definiciones y técnicas del cálculo de funciones reales se pueden aplicar a funciones vectoriales.

Ejemplo: Las funciones vectoriales se pueden sumar y restar, multiplicar por una escalar “K”, tomar su límite, derivarlas, etc.

Se debe aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales y extender las definiciones en una base, componente por componente.

Funciones Vectoriales de una Variable Real

Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contradominio es un conjunto de vectores.

Las graficas de estas funciones son curvas, las cuales también pueden representarse mediante ecuaciones parametricas.

Anteriormente se introdujeron las ecuaciones parametricas al considerar que una partícula se mueve en plano de modo que las coordenadas (X, Y) de su posición en cualquier instante t están denominadas por las ecuaciones:

X =f (t); Y= g (t)

Dicha idea puede extenderse al espacio tridimensional (X, Y y Z), con las siguientes ecuaciones:

X =f (t); Y= g (t); Z = f (t)

Definición de una función vectorial de una Variable Real, Dominio y Graficacion

Una cuerva en el espacio C es un conjunto de todas las ternas ordenadas (f(t), g(t), h(t)) junto con sus ecuaciones parametricas:

Donde f, g, y h son funciones continuas de t en un intervalo I.

Una función de forma:

Es una función vectorial, donde las componentes f, g y h son funciones del parámetro t.

Para cualquier posición de la partícula existe un vector y los puntos terminales de la representación de la posición de estos vectores determinan una curva recorrida por la partícula. Esta idea nos lleva a considerar una función cuyo dominio es un conjunto de números reales tal que su contradominio es un conjunto de vectores. A esta función se le llama “Función Vectorial”.

Graficación de una Circunferencia

Graficar una circunferencia con un radio de 5 con la siguiente función:

X² + Y² = 25              de -5 < 0 < 5

Al despejar Y, la ecuación queda de la siguiente forma

Y = √(25-X²)

Y tambien con la negativa de Y, para poder graficar la circunferencia

-Y = - √(25-X²)

Ahora le daremos valores a X de 0.1 en 0.1 comenzando desde -5 hasta a 5.

La grafica queda

Se denomina "Ecuación vectorial" la cual describe la curva C definiendo por las correspondientes ecuaciones parametricas, esto es, una curva puede definirse por medio de una ecuación vectorial o por un conjunto de ecuaciones parametricas.

Ejemplo:

La cueva plana definida  por la ecuación vectorial:

R (t) = (4 – t²)i + (t² + 4t)j

También puede definirse por las ecuaciones parametricas:

X = 4 - t²; y Y = t² + 4t

Una ecuación vectorial de una curva proporciona una dirección a la curva en cada punto. Se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la direccionen la que la partícula se mueve.

Al eliminar “t” de las ecuaciones parametricas se obtienen 2 ecuaciones, en X y Y, de nominadas ecuaciones cartesianas de la curva C. La grafica de la ecuación cartesiana es una superficie, y C es la intersección de las 2 superficies. Las ecuaciones de cualesquiera 2 superficies que contienen a C pueden considerarse como las ecuaciones que definen a C.